EUDOXE DE CNIDE

EUDOXE DE CNIDE

Le Cnidien Eudoxe est sans doute le plus grand savant du IV^e siècle avant notre ère, et l’un des mieux connus, bien qu’il ne reste de son œuvre que des fragments, la plupart du temps retrouvés à travers des commentateurs. Ses traités de mathématiques ont profondément influencé les Éléments d’Euclide, tandis que sa théorie des rapports et sa méthode d’exhaustion, perfectionnées par Archimède, le placent parmi les précurseurs du calcul intégral.

Savant et philosophe

Les dates de la vie d’Eudoxe de Cnide, fils d’Eschine, sont sujettes à discussion entre les spécialistes, mais on pense qu’il est né vers 400 et mort vers 355. Appartenant probablement à une famille de médecins (Cnide est célèbre au V^e siècle pour son école de médecine), sans fortune, il suivit d’abord des confrères dans leurs déplacements. C’est ainsi qu’à vingt-trois ans il vécut deux mois au Pirée, se rendant à pied, tous les jours, à Athènes pour y écouter Platon et les autres socratiques. Rentré à Cnide, il part avec le médecin Chrysippe pour l’Égypte, muni d’une lettre de recommandation d’Agésilas pour le roi Nectanébo. Ce dernier le met en rapport avec les prêtres d’Héliopolis, auprès desquels il restera seize mois.

Il rapporte d’Égypte des connaissances d’astronomie grâce auxquelles il propose une réforme du calendrier grec qui rencontre une grande faveur. Après un séjour près de Mausole à Halicarnasse, il se rend à Cyzique où il s’établit comme sophiste. Il s’installe ensuite à Athènes, suivi de disciples dont la plupart sont des géomètres (Menechme, Dinostrate, Athénée de Cyzique), et rivalise quelque temps avec Platon. D’après Aristote, il aurait professé l’hédonisme en morale et l’immanence des idées en métaphysique. Il retourne à Cnide, où il est reçu avec honneur. Il donne des lois à ses concitoyens.

Il ne reste guère que des fragments de l’œuvre d’un des savants les plus universels de son temps et qui a joué le plus grand rôle dans le développement des mathématiques à cette époque. On cite l’Octaétéride, où il exposait sa réforme du calendrier, mais dont le texte original a dû disparaître assez vite. Le Miroir et les Phénomènes sont deux éditions d’un ouvrage qui a servi de base aux descriptions du ciel d’Aratus. Hipparque l’a critiqué comme il a critiqué le poème d’Aratus. Son Ges periodos est un des travaux de géographie les plus considérables avant ceux d’Ératosthène. On cite encore les Dialogues des Morts qu’il aurait traduits ou présentés comme traduits de l’égyptien. On possède enfin, sous le nom d’Art d’Eudoxe , un petit traité élémentaire d’astronomie, retrouvé dans un papyrus du musée du Louvre et rédigé par un certain Leptine, en Égypte, au commencement du II^e siècle de notre ère.

Travaux mathématiques

Les travaux d’Eudoxe en mathématiques sont connus avec beaucoup plus de précision. D’après le témoignage de Proclus, il avait composé des traités qui ont servi de point de départ aux Éléments d’Euclide et même à des parties plus complexes de l’analyse géométrique ultérieure. Deux scolies anonymes aux Éléments lui attribuent la paternité du livre V et de la théorie savante des rapports qui s’y trouve exposée. Cependant, ce fait est mal établi et soulève de graves difficultés théoriques. La mathématique du livre V est en effet beaucoup plus subtile que celle connue d’Aristote, postérieur à Eudoxe. Elle n’a été vraiment comprise qu’à la fin du XIX^e siècle, et ce n’est pas faire injure au grand Cnidien que lui en dénier la paternité. En particulier, il n’y a pas lieu d’appeler «axiome d’Eudoxe» l’axiome d’Archimède. Mais on ne peut pas refuser à Eudoxe les principaux résultats du livre XII des Éléments , le témoin étant Archimède lui-même, qui le cite trois fois, dont deux à ce sujet. Il nous apprend que Démocrite avait avancé, pour le volume de la pyramide, la formule actuelle: tiers du produit de la base par la hauteur. Eudoxe avait ensuite fourni pour ce volume et pour celui du cône des preuves irréfutables. Cette étude forme en fait la majeure partie du livre XII, qu’il y a donc lieu de lui attribuer. À ce point de vue, il est le fondateur, avant Archimède, du calcul intégral, sous un aspect purement géométrique.

Il avait encore traité de l’arithmétique et de la musique puisque Proclus rapporte qu’il avait ajouté trois moyennes aux trois anciennement connues, à savoir l’arithmétique, la géométrique et l’harmonique.

Pour le problème, déjà ancien à son époque, de la duplication du cube, il aurait utilisé certaines lignes courbes dont, malheureusement, on ignore tout.

Enfin, lorsque Proclus déclare: «Eudoxe présenta en plus grand nombre les questions relatives à la section», la plupart des historiens veulent voir dans cette phrase une allusion à la section d’or, ou division en moyenne et extrême raison, c’est-à-dire à la résolution graphique de l’équation x ² + x 漣 1 = 0. Paul Tannery a préféré y voir une allusion aux sections coniques, qui apparaissent justement au IV^e siècle. Quant à Paul Ver Eecke, et nous nous rangerions à son avis, il y voit le début du Trésor de l’analyse dont Pappus nous a transmis les thèmes essentiels d’après Apollonios: section de rapport, section d’aire, section déterminée. Il s’agit essentiellement de la discussion de problèmes délicats du second degré.

À l’origine de l’astronomie scientifique

Eudoxe s’est aussi rendu célèbre comme astronome. L’école qu’il avait fondée à Cyzique prospéra longtemps et ses écrits servirent de prototype à la collection de la Petite Astronomie qui présente, sous forme géométrique, l’ensemble des théorèmes relatifs à la sphère et au mouvement diurne. Il a, le premier, essayé la méthode suivie par Aristarque de Samos pour estimer les distances du Soleil et de la Lune. Surtout, il imagina la première théorie géométrique du mouvement des planètes, au moyen d’une combinaison de sphères concentriques tournant les unes dans les autres. Ce système qu’Aristote compliqua inutilement n’a été pleinement restitué que par Schiaparelli (1875) et, indépendamment, par T. H. Martin (1881).

Grâce à cette belle théorie, qui sera remplacée ultérieurement par celle des épicycles d’Apollonios et d’Hipparque, mais qui est fondée sur une géométrie rigoureuse, Eudoxe peut être considéré comme le fondateur, chez les Grecs, de l’astronomie scientifique.

Comme observateur, il n’eut guère le temps, dans une existence trop courte et si remplie, de réaliser de sérieux progrès. Mais il a, du moins, perfectionné les moyens de déterminer l’heure de jour et de nuit (arachné).

Eudoxe de Cnide

(v. 405 - v. 355 av. J.-C.) mathématicien, astronome et philosophe grec; auteur d'une théorie géocentrique de l'Univers.

Encyclopédie Universelle. 2012.